Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）解不等式；

（2）設(shè)函數(shù)的最小值為c，實(shí)數(shù)a，b滿足，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）f（x）≤x+1，即|x﹣1|+|x﹣3|≤x+1．通過①當(dāng)x＜1時(shí)，②當(dāng)1≤x≤3時(shí)，③當(dāng)x＞3時(shí)，去掉絕對(duì)值符號(hào)，求解即可；

（2）由絕對(duì)值不等式性質(zhì)得，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（1﹣x）+（x﹣3）|=2，推出a+b=2．令a+1=m，b+1=n，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解證明即可．

①當(dāng)時(shí)，不等式可化為，．

又∵，∴；

②當(dāng)時(shí)，不等式可化為，．

又∵，∴．

③當(dāng)時(shí)，不等式可化為，．

又∵，∴．

綜上所得，．

∴原不等式的解集為．

（2）證明：由絕對(duì)值不等式性質(zhì)得，，

∴，即．

令，，則，，，，

，

原不等式得證．