Question

【題目】如圖，在四棱錐中，PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，.

（Ⅰ）求證：CD⊥PD；

（Ⅱ）求證：BD⊥平面PAB；

（Ⅲ）在棱PD上是否存在點M，使CM∥平面PAB，若存在，確定點M的位置，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）在棱PD上存在點M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中點.

【解析】

（Ⅰ）由題意可得CD⊥平面PAD，從而易得CD⊥PD；

（Ⅱ）要證BD⊥平面PAB，關鍵是證明；

（Ⅲ）在棱PD上存在點M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中點.

（Ⅰ）證明：因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD

所以CD⊥PA.

因為CD⊥AD，，

所以CD⊥平面PAD.

因為平面PAD，

所以CD⊥PD.

(II)因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD

所以BD⊥PA.

在直角梯形ABCD中，，

由題意可得，

所以，

所以.

因為，

所以平面PAB.

（Ⅲ）解：在棱PD上存在點M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中點.

證明：取PA的中點N，連接MN，BN，

因為M是PD的中點，所以.

因為，所以.

所以MNBC是平行四邊形，

所以CM∥BN.

因為平面PAB, 平面PAB.

所以平面PAB.