Question

(經典回放)已知函數φ(x)＝＋1，f(x)＝(a＋b)^x－a^x－b^x，其中a，b∈N₊，a≠1，b≠1，a≠b，且ab＝4，

(1)求函數φ(x)的反函數g(x)；

(2)對任意n∈N₊，試指出f(n)與g(2ⁿ)的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由y＝＋1，得＝y－1(y≥1)， 　　有x＋1＝(y－1)2，即x＝y2－2y，故g(x)＝x2－2x(x≥1)． 　　(2)∵f(n)＝(a＋b)n－an－bn，g(2n)＝4n－2n+1， 　　當n＝1時f(1)＝0，g(2)＝0，有f(1)＝g(2)． 　　當n＝2時，f(2)＝(a＋b)2－a2－b2＝2ab＝8， 　　g(22)＝42－23＝8，f(2)＝g(22)． 　　當n＝3時，f(3)＝(a＋b)3－a3－b3＝3a2b＋3ab2＝3ab(a＋b)＞3ab×＝48． 　　g(23)＝43－24＝48，有f(3)＞g(23)． 　　當n＝4時，f(4)＝(a＋b)4－a4－b4 　　＝4a3b＋4ab3＋6a2b2 　　＝4ab(a2＋b2)＋6a2b2＞4ab×2ab＋6a2b2 　　＝14a2b2＝224． 　　g(24)＝44－25＝224，有f(4)＞g(24)，由此推測當1≤n≤2時，f(n)＝g(2n)， 　　當n≥3時，f(n)＞g(2n)． 　　下面用數學歸納法證明． 　　(1)當n＝3時，由上述推測成立； 　　(2)假設n＝k時，推測成立．即f(k)＞g(2k)(k≥3)， 　　即(a＋b)k－ak－bk＞4k－2k+1， 　　那么f(k＋1)＝(a＋b)k+1－ak+1－bk+1 　　＝(a＋b)·(a＋b)k－a·ak－b·bk 　　＝(a＋b)[(a＋b)k－ak－bk]＋akb＋abk． 　　又依題設a＋b＞2ab＝4． 　　akb＋abk＞＝2(ab)＝2k+2， 　　有f(k＋1)＞4[(a＋b)k－ak－bk]＋2k+2＞4(4k－2k+1)＋2k+2 　　＝4k+1－2k+2＝g(2k+1)， 　　即n＝k＋1時，推測也成立． 　　由(1)(2)知n≥3時，f(n)＞g(2n)都成立． 　　思路分析：欲比較f(n)與g(2n)的大小，需求出f(n)與g(2n)的關于n的表達式，以利于特殊探路——從n＝1，2，3，…中尋找、歸納一般性結論，再用數學歸納法證明．

提示：

為保證猜想的準確性，當設n＝1，2時，得出f(n)＝g(2n)，不要急于去證明，應再試驗一下n＝3，4時，以免出現錯誤．