Question

如圖所示的三棱錐A-BCD中，∠BAD=90°，AD⊥BC，AD=4，AB=AC=2

3

，∠BAC=120°，若點P為△ABC內的動點滿足直線DP與平面ABC所成角的正切值為2，則點P在△ABC內所成的軌跡的長度為

 

．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：確定AD⊥平面ABC，在平面ABC內，取點P，連PA，則∠DPA是DP與平面ABC所成角，可得點P在△ABC內所成的軌跡是以A為圓心，半徑為2的圓的一部分，即可求出點P在△ABC內所成的軌跡的長度．

解答： 解：因為∠BAD=90°，所以AD⊥AB，又AD⊥BC，且AB∩BC=B，所以AD⊥平面ABC．在平面ABC內，取點P，連PA，則∠DPA是DP與平面ABC所成角．
又因為AD=4，所以直線DP與平面ABC所成角的正切值為2，須AP=2，即點P在△ABC內所成的軌跡是以A為圓心，半徑為2的圓的一部分．
而∠BAC=120°=

2π

3

，故點P在△ABC內所成的軌跡的長度為

2π

3

×2=

4π

3

．
故答案為：

4π

3

．

點評：本題主要考查立體幾何中的垂直關系，角的計算，圓的定義，扇形弧長公式．