Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，分別為棱的中點.

（1）求二面角的平面角的余弦值；

（2）在線段上是否存在一點，使得平面?若存在，確定點的位置并證明結論；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，為中點

【解析】

試題分析：（1）如圖建系．分別求出平面，的一個法向量，利用兩法向量的夾角求解；（2）設，欲使平面，當且僅當，列出關于的方程并求解即可．

試題解析：（1）為直三棱柱，，，分別為棱的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，.

，.設平面的一個法向量為，

則，即，得，.

又平面的一個法向量為，，

由圖可知，二面角的平面角為銳角，

二面角的平面角的余弦值為．

（2）在線段上存在一點，設為，使得平面．

欲使平面，由（１）知，當且僅當．

，．

在線段上存在一點滿足條件，此時點為的中點．