Question

已知，點A(s,f(s)), B(t,f(t))
(I) 若,求函數的單調遞增區間；
(II)若函數的導函數滿足：當|x|≤1時，有||≤恒成立，求函數的解析表達式；
(III)若0<a<b, 函數在和處取得極值，且,證明：與不可能垂直.

Answer 1

(I) f(x)的增區間是(-∞，)和[1,+ ∞]. …………………………3分
(II) f(x)=x³x. ……………………9分
(III) 證明見解析

(I) f(x)=x³-2x²+x, (x)=3x²-4x+1,
因為f(x)單調遞增，
所以(x)≥0，
即 3x²-4x+1≥0,
解得，x≥1, 或x≤,……………………………2分
故f(x)的增區間是(-∞，)和[1,+ ∞]. …………………………3分
(II) (x)=3x²-2(a+b)x+ab.
當x∈[-1，1]時，恒有|(x)|≤.………………………4分
故有≤(1)≤，
≤(-1)≤，
≤(0)≤,………………………5
即    ………6
①+②，得
≤ab≤，……………………………8分
又由③，得
ab=，
將上式代回①和②，得
a+b=0,
故f(x)=x³x. ……………………9分
(III) 假設⊥,
即= =" st+f(s)f(t)=0," ……………10分
(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,
[st-(s+t)a+a²][st-(s+t)b+b²]="-1," ……………………………………11分
由s，t為(x)=0的兩根可得，
s+t=(a+b), st=, (0<a<b),
從而有ab(a-b)²="9." ……………………………………12分
這樣(a+b)²=(a-b)²+4ab
= +4ab≥2=12，
即 a+b≥2,
這樣與a+b<2矛盾. ……………………13分
故與不可能垂直.