Question

【題目】已知函數，的導函數為.

（1）試討論函數的零點個數；

（2）若對任意的，關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）先求函數的定義域，然后求函數的導數，對分類討論，將的零點問題，轉化為直線與函數圖象的交點個數來求解出來.（2）構造函數，將原問題轉化為對恒成立，先利用確定的一個范圍，然后利用的二階導數驗證在這個范圍內，的最大值不大于零，由此求得的取值范圍.

解：（1）由題意得的定義域為，.

（i）當時，，此時沒有零點；

（ii）當時，，

的零點個數等于直線與函數圖象的交點個數，可知直線與函數圖象的相切點，此時切線的斜率為.

①當，即時，兩個圖象沒有交點，即函數沒有零點；

②當，即時，兩個圖象有兩個交點，即函數有兩個零點；

③當，即時兩個圖象有一個交點，即函數有一個零點；

④當，即時，兩個圖象有一個交點，即函數有一個零點.

綜上，當時，函數沒有零點；

當或時，有一個零點；

當時，有兩個零點.

（2）設 ，

要使原不等式恒成立，則只要對恒成立，

所以.

令，則.

由于“對恒成立”的一個必要條件是，即.

當時，，，

所以在上單調遞減.

所以，，從而在上單調遞減，則，，

所以實數的取值范圍為.