Question

【題目】已知函數.

（1）若函數的最小值為，求的值；

（2）證明: .

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意得，的最小值問題，需要借助于導數，對比極值與端點值確定，而由最值也可確定出未知量；（2）借助第一問，將問題轉化成最常見的形式：.

試題解析：（1）的定義域為，且.若，則，于是在上單調遞增，故無最小值，不合題意，若，則當時， ;當時， .故在上單調遞減，在上單調遞增.于是當時， 取得最小值.由已知得, 解得.綜上， .

（2）①下面先證當時， .因為, 所以只要證.由（1）可知, 于是只要證，即只要證, 令，則,當時， , 所以在單調遞增，所以當時， ，即，故當時，不等式成立 .② 當時，由（1）知, 于是有，即,所以, 即,又因為, 所以,所以

,綜上，不等式

成立.