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選修4-2：矩陣與變換
已知△ABC經過矩陣M的變換后變成△A'B'C'，且A（1，0），B（1，-1），C（0，-1），A'（1，0），B'（0，-1）．
（Ⅰ）求矩陣M，并說明它的變換類型；
（Ⅱ）試求出點C'的坐標及M的逆矩陣M^-1．

分析：（I）先假設矩陣，根據點A（1，0）變成了點A'（1，0），點B（1，-1）變成了點B'（0，-1），利用矩陣的乘法，可得方程組，解之即得矩陣M，
（II）根據由（I）得出的矩陣M，結合矩陣的乘法即可求出點C'的坐標；利用逆矩陣公式可求逆矩陣．

解答：解：（I）設M=

a	b
c	d

，根據題意得

a	b
c	d

1
0

1
0

，

a	b
c	d

1
-1

0
-1

，
∴

a=1

c=0

a-b=0

c-d=-1

，解得

a=1

b=1

c=0

d=1

，
∴M=

1	1
0	1

，它是沿x軸方向的切變變換；
（II）∵

1	1
0	1

0
-1

-1
-1

，
∴點C'的坐標（-1，-1）；
又|M|=1，∴M^-1=

1	-1
0	1

．

點評：本題以點的變換為載體，考查二階矩陣與平面列向量的乘法，考查逆矩陣，解題的關鍵是利用待定系數法假設矩陣，正確運用二階矩陣與平面列向量的乘法公式及逆矩陣的公式．

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）選修4-2：矩陣與變換
若矩陣A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它們所對應的特征向量分別為e1=

和e2=

．
（I）求矩陣A；
（II）求曲線x²+y²=1在矩陣A的變換下得到的新曲線方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線C₁的參數方程為

x=2sinθ

y=cosθ

(θ為參數），C₂的參數方程為

x=2t

y=t+1

(t為參數）
（I）若將曲線C₁與C₂上所有點的橫坐標都縮短為原來的一半（縱坐標不變），分別得到曲線C′₁和C′₂，求出曲線C′₁和C′₂的普通方程；
（II）以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求過極點且與C′₂垂直的直線的極坐標方程．
（3）選修4-5：不等式選講
設函數f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求關于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若g(x)=

f(x)+m

的定義域為R，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

本題設有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分
（1）選修4-2：矩陣與變換
變換T是將平面上每個點M（x，y）的橫坐標乘2，縱坐標乘4，變到點M′（2x，4y）．
（Ⅰ）求變換T的矩陣；
（Ⅱ）圓C：x²+y²=1在變換T的作用下變成了什么圖形？
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
已知極點與原點重合，極軸與x軸的正半軸重合．若曲線C₁的極坐標方程為：5ρ²-3ρ²cos2θ-8=0，直線?的參數方程為：

x=1-

y=t

（t為參數）．
（Ⅰ）求曲線C₁的直角坐標方程；
（Ⅱ）直線?上有一定點P（1，0），曲線C₁與?交于M，N兩點，求|PM|．|PN|的值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知a，b，c為實數，且a+b+c+2-2m=0，a²+

b2+

c2+m-1=0．
（Ⅰ）求證：a²+

b2+

c2≥

(a+b+c)2

；
（Ⅱ）求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年福建省高三第八次月考理科數學試卷 題型：解答題

本題設有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題做答，滿分14分

（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換

變換是將平面上每個點的橫坐標乘，縱坐標乘，變到點.

（Ⅰ）求變換的矩陣；

（Ⅱ）圓在變換的作用下變成了什么圖形？

（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程

已知極點與原點重合，極軸與x軸的正半軸重合．若曲線的極坐標方程為：，直線的參數方程為：（為參數）.

（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）直線上有一定點，曲線與交于M，N兩點，求的值．

（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講

已知為實數，且

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年福建省福州三中高三（上）期中數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

（1）選修4-2：矩陣與變換
若矩陣A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它們所對應的特征向量分別為

．
（I）求矩陣A；
（II）求曲線x²+y²=1在矩陣A的變換下得到的新曲線方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線C₁的參數方程為

為參數），C₂的參數方程為

為參數）
（I）若將曲線C₁與C₂上所有點的橫坐標都縮短為原來的一半（縱坐標不變），分別得到曲線C′₁和C′₂，求出曲線C′₁和C′₂的普通方程；
（II）以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求過極點且與C′₂垂直的直線的極坐標方程．
（3）選修4-5：不等式選講
設函數f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求關于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若