Question

【題目】已知 (n∈N*)的展開式中第五項的系數的與第三項的系數的比是10∶1.

(1)求展開式中各項系數的和；

(2)求展開式中含的項；

(3)求展開式中系數最大的項和二項式系數最大的項．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）.

【解析】

（1）已知的展開式中第五項系數與第三項的系數的比是，由此關系建立起方程，求出；(2)由（1) ，利用展開式中項的公式,令的指數為解出,即可得到的項；(3)利用,得出展開式中系數最大的項 .

解：由題意知，第五項系數為C·(－2)4，第三項的系數為C·(－2)2，則，

化簡得n2－5n－24＝0，

解得n＝8或n＝－3(舍去)．

(1)令x＝1得各項系數的和為(1－2)8＝1.

(2)通項公式Tr＋1＝C ()8－r＝C (－2)rx－2r，

令－2r＝，則r＝1.

故展開式中含的項為.

(3)設展開式中的第r項，第r＋1項，第r＋2項的系數絕對值分別為C·2r－1，C·2r，C·2r＋1，

若第r＋1項的系數絕對值最大，

則解得5≤r≤6.

又T6的系數為負，所以系數最大的項為T7＝1 792x－11

由n＝8知第5項二項式系數最大，

此時.