【題目】已知橢圓C:
的離心率為
，點
在橢圓C上.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設動直線
與橢圓C有且僅有一個公共點，判斷是否存在以原點O為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點
，
（兩點均不在坐標軸上），且使得直線
，
的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說明理由.
【答案】（1）
；（2）當圓的方程為
時，圓與
的交點
滿足斜率之積
為定值
.
【解析】
試題分析：（1）由橢圓離心率可知
，點
在橢圓
上，將代入橢圓方程，再結合
，即可求出橢圓的標準方程；（2）當直線斜率存在時利用解的性質可以得
，
，
，可以確定當
為定值時，
，當直線斜率不存在時，確定直線方程，進行判斷，即可得到圓的方程.
試題解析：（1）解：由題意，得
，又因為點在橢圓上，所以
， 解得
， 所以橢圓的方程為.
（2）結論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為.證明如下：
假設存在符合條件的圓，并設此圓的方程為
.
當直線
的斜率存在時，設
的方程為
.
由方程組
得
，
因為直線
與橢圓
有且僅有一個公共點，
所以，即.
由方程組
得
，
則
.
設
，則，
設直線
的斜率分別為
，所以.
，
將代入上式，得
.
要使得為定值，則
，即，驗證符合題意.
所以當圓的方程為時，圓與
的交點滿足為定值.
當直線的斜率不存在時，由題意知的方程為
，
此時，圓與的交點也滿足
.
綜上，當圓的方程為時，圓與的交點滿足斜率之積為定值.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.若直線l過點A(4,0)，且被圓C1截得的弦長為2
，求直線l的方程；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設事件A表示“關于
的一元二次方程
有實根”，其中
，
為實常數.
（Ⅰ）若為區間[0，5]上的整數值隨機數，為區間[0，2]上的整數值隨機數，求事件A發生的概率；
（Ⅱ）若為區間[0，5]上的均勻隨機數，為區間[0，2]上的均勻隨機數，求事件A發生的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】總體由編號為00，01，02，…48，49的50個個體組成，利用下面的隨機數表選取8個個體，選取方法是從隨機數表第6行的第9列和第10列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第8個個體的編號為（ ）
附：第6行至第9行的隨機數表
2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950
3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732
2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620
7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125
A. 16 B. 19 C. 20 D. 38
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2015年10月十八屆五中全會決定2016年1月1日起全國統一實施全面兩孩政策，為了了解適齡民眾對放開生育二胎政策的態度，某市進行了一次民意調查，參與調查的100位市民中，年齡分布情況如下圖所示，并得到適齡民眾對放開生育二胎政策的態度數據如下表：
生二胎 | 不生二胎 | 合計 | |
25~35歲 | 10 | ||
35~50歲 | 30 | ||
合計 | 100 |
（1）填寫上面的
列聯表；
（2）根據調查數據，有多少的把握認為“生二胎與年齡有關”，說明理由；
（3）調查對象中決定生二胎的民眾有六人分別來自三個不同的家庭且為父子，各自家庭都有一個約定：父親先生二胎，然后兒子生二胎，則這三個家庭“二胎出生的日期的先后順序”有多少種？
參考數據：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
（參考公式：
，其中
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知關于
的一次函數
.
（1）設集合
和
，分別從集合
和
中隨機取一個數作為
和
，求函數
是增函數的概率；
（2）實數
滿足條件
，求函數
的圖象經過第一、二、三象限的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】衡州市英才中學貫徹黨的教育方針，促進學生全面發展，積極組織開展了豐富多樣的社團活動，根據調查，英才中學在傳統民族文化的繼承方面開設了“泥塑”、“剪紙”、“曲藝”三個社團，三個社團參加的人數如下表所示：
社團 | 泥塑 | 剪紙 | 曲藝 |
人數 | 320 | 240 | 200 |
為調查社團開展情況，學校社團管理部采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為
的樣本，已知從“剪紙”社團抽取的同學比從“泥塑”社團抽取的同學少2人。
（1）求三個社團分別抽取了多少同學；
（2）若從“剪紙”社團抽取的同學中選出2人擔任該社團活動監督的職務，已知“剪紙”社團被抽取的同學中有2名女生，求至少有1名女同學被選為監督職務的概率.
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