Question

【題目】已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AB=4，AA1=2，點E1在棱C1D1上，且D1E1=3。

（I）在棱CD上確定一點E，使得直線EE1∥平面D1DB，并寫出證明過程；

（II）求證：平面A1ACC1⊥平面D1DB；

（III）若動點F在正方形ABCD內，且AF=2，請說明點F的軌跡，試求E1F長度的最小值。

Answer 1

【答案】（1）DE=3，見解析（2）見解析(3)

【解析】

試題（1）在DC上取點E，使DE=3,根據平幾知識可得DEE1D1為平行四邊形，即得EE1∥DD1.再根據線面平行判定定理得結論，（2）先根據長方體性質得AA1⊥DB.再結合正方形性質得AC⊥DB，根據線面垂直判定定理得DB⊥平面A1ACC1.，最后根據面面垂直判定定理得結論，(3)由圓的定義可得點F的軌跡，注意軌跡范圍，根據勾股定理得E1F取最小值時EF取最小值.再根據圓的性質求最值.

試題解析：證明：（I）在DC上取點E，使DE=3，此時直線EE1∥平面D1DB.

證明如下：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，DE∥D1E1，且DE=D1E1，

所以四邊形DEE1D1為平行四邊形.

所以EE1∥DD1.

又DD1平面D1DB，EE1平面D1DB，

所以直線EE1∥平面D1DB.

（Ⅱ）在正方形ABCD中，AC⊥DB，

又AA1⊥底面ABCD，DB底面ABCD，

所以AA1⊥DB.

又AA1AC=A，

所以DB⊥平面A1ACC1.

又DB平面D1DB，

所以平面A1ACC1⊥平面D1DB.

（III）因為動點F在正方形內，且AF=2，

所以點F的軌跡為以A為圓心，2為半徑，在正方形ABCD內的個圓周。

由題意知，直線EE1⊥平面ABCD，所以EE1⊥EF，故E1F取最小值，即EF取最小值.

所以當A，F，E三點共線時，EF長度最小，即E1F長度最小，

此時AE=，

E1F=.

所以E1F的最小值為.