Question

【題目】如圖，橢圓的左右焦點、恰好是等軸雙曲線的左右頂點，且橢圓的離心率為，是雙曲線上異于頂點的任意一點，直線和與橢圓的交點分別記為、和、．

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線、的斜率分別為、，求證：為定值；

（3）若存在點滿足，試求的大小．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值為，見解析；（3）.

【解析】

（1）設橢圓的焦距為，由題意得出，由橢圓的離心率可計算出，進而求出的值，由此可得出橢圓的方程；

（2）設點，可得出，再結合斜率公式可計算出的值；

（3）設直線的方程為，可得出直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯立，利用韋達定理和弦長公式計算出，同理得出，利用平面向量數量積的定義得出，計算出，即可得出的大小.

（1）設橢圓的焦距為，由題意知，，，

又離心率，，故，則橢圓的方程為；

（2）設，則，可得，

由此（定值）；

（3）由（2）知，設直線的方程為，則直線方程為，

聯立消去，得：，

記，，則，，

，同理，

.

由題意：，

故，.