Question

（本小題滿分12分）點為橢圓內的一定點，過P點引一直線，與橢圓相交于兩點，且P恰好為弦AB的中點，如圖所示，求弦AB所在的直線方程及弦AB的長度。

Answer 1

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試題分析：由于A，B兩點是直線與橢圓的交點，故他們應滿足橢圓方程，設出它們的坐標，然后根據它們的中點為M，可將坐標間的關系轉化為求直線l的斜率，然后再由點斜式求出直線方程．利用兩點距離公式得到弦的長度的求解。
解：設直線與橢圓交于，則…①且…②
②-①得，即，
∴所求直線方程為：，即。
將其代入橢圓方程整理得，，根據弦長公式有
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點評：解決該試題的關鍵是求直線方程時，應先選擇適當的直線方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直或經過原點的直線，故在解題時，若采用截距式，應注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況．