Question

已知定義在R上的函數y=f（x）對任意的x都滿足f（x+1）=-f（x），當-1≤x＜1時，f（x）=x³．
（1）若函數g（x）=f（x）-loga|x|恰好6個零點，則a取值范圍是多少？
（2）若函數g（x）=f（x）-loga|x|至少6個零點，則a取值范圍是多少？

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意，作出函數y=f（x）的圖象，轉化函數g（x）=f（x）-log_a|x|的零點為圖象的交點，從而求解．
（2）結合（1）的討論直接寫出答案即可．

解答： 解：（1）∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴作函數y=f（x）的圖象如下圖，

若函數g（x）=f（x）-log_a|x|恰好6個零點，
則

a＞1 loga5＜1 loga7≥1

或

0＜a＜1 loga5＞-1 loga7≤-1

，
解得，5＜a≤7或

1

7

≤a＜

1

5

；
（2）若函數g（x）=f（x）-log_a|x|至少有6個零點，
則由以上討論可知，a＞5或0＜a＜

1

5

．

點評：本題考查了學生的作圖能力及識圖能力，屬于難題．