Question

【題目】已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,AD⊥AB,AD=AB=CD=1,PD⊥平面ABCD,PD=,E是PC的中點(diǎn).

(1)證明:BE∥平面PAD;

(2)求二面角E-BD-C的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)根據(jù)題意，找到PD的中點(diǎn)，連接EF,AF,根據(jù)平行四邊形的證明方法可得線面平行。

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個平面的法向量，求兩個平面的法向量即可得到兩個平面的二面角大小。

(1)證明取PD的中點(diǎn)F,連接EF,AF,

∵E為PC中點(diǎn),

∴EF∥CD,且EF=CD=1.

在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=1,

∴EF∥AB,EF=AB,四邊形ABEF為平行四邊形.

∴BE∥AF.∵BE平面PAD,AF平面PAD,

∴BE∥平面PAD.

(2)解分別以DA,DB,DP所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,可得B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,),E.

∴=(1,1,0),.

設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的一個法向量,

則

取x=1,得y=-1,z=,n=(1,-1,).

∵平面ABCD的一個法向量為m=(0,0,1),

∴cos<m,n>=,可得<m,n>=45°.

因此,二面角E-BD-C的大小為45°.