Question

已知二次函數y=x²，現取x軸上的點，分別為A₁(1，0)，A₂(2，0)，A₃(3，0)，…，A_n(n，0)，…，過這些點分別作x軸垂線，與拋物線分別交于A′₁，A′₂，A′₃，…，A′_n…，記由線段A′_nA_n，A_nA_n+1，A_n+1A′_n+1及拋物線弧A′_n+1A′_n所圍成的曲邊梯形的面積為a_n，
(Ⅰ)求數列{a_n}的通項公式；
(Ⅱ)作直線y=與A′_nA_n(n =1，2，3，…)交于B_n，記新的曲邊梯形A′_nB_nB_n+1A′_n+1，面積為b_n，求的前n項和S_n；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，作直線y=x，與A′_nA_n(n=1，2，3，…)交于C_n，記Rt△C_n+1A_n+1A_n面積與曲邊梯形A′_nB_nB_n+1A′_n+1面積之比為P_n，求證：P₁+。

Answer 1

解：(Ⅰ)；
(Ⅱ)依題意，，
，
∴，
∴，
∴。
(Ⅲ)記直角三角形C_n+1A_n+1A_n面積為d_n，
則，
∴，
∴，
原式即證：，
用數學歸納法證明：
①當n=1時，左邊=1，右邊=lna，左邊＞右邊，命題成立；
②假設n=k（k≥1，k∈N*）時，命題成立，
即，
當n=k+1時，，
下證：

構造函數，
，∴f（x）在單調遞增，
所以當時，，∴x＞ln（1+x），
∵，
∴，
故命題對n=k+1時也成立，
由①②得，對任意n∈N*都成立，故原命題成立。