Question

在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為

x=tcosα y=1+tsinα

（t為參數，0≤α＜π）．以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C的極坐標方程為ρcos²θ=4sinθ．
（1）求直線l與曲線C的平面直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C交于不同的兩點A、B，若|AB|=8，求α的值．

Answer 1

分析：（1）先利用消去參數t得到曲線C的直角坐標方程．再將原極坐標方程ρcos²θ=4sinθ兩邊同時乘以ρ，利用極坐標與直角坐標之間的關系即可得出其直角坐標方程；
（2）將

x=tcosα y=1+tsinα

代入曲線C的標準方程：x²=4y得：t²cos²α-4tsinα-4=0，利用直線的參數方程中t的幾何意義結合根與系數的關系建立關于α的方程即可求出求出α的值．

解答：解：（1）消去參數t，得直線l的直角坐標方程為：sinαx-cosαy+cosα=0．
曲線C的極坐標方程為ρcos²θ=4sinθ，即ρ²cos²θ=4ρsinθ，
曲線C的標準方程：x²=4y．
（2）將

x=tcosα y=1+tsinα

代入曲線C的標準方程：x²=4y得：
t²cos²α-4tsinα-4=0，
∴|AB|=|t₁-t₂|=

( 4sinα cos2α )2-4× -4 cos2α

=8，
∴cosα=±

2

2

．
∴α=

π

4

或

3π

4

．

點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，以及利用平面幾何知識解決最值問題．利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得．