Question

如圖所示,已知四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,
AB=BC=PB=PC=2CD,側面PBC⊥底面ABCD.證明:
(1)PA⊥BD;
(2)平面PAD⊥平面PAB.

Answer 1

證明略

 (1)取BC的中點O,

∵平面PBC⊥平面ABCD,△PBC為等邊三角形,
∴PO⊥底面ABCD.
以BC的中點O為坐標原點,以BC所在直線為x軸,過點O與AB平行的直線為y軸,如圖所示,建立空間直角坐標系.
不妨設CD=1,則AB=BC=2,PO=.
∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0, ).
∴=(-2,-1,0), ="(1,-2,-" ).
∵·=（-2）×1+(-1)×(-2)+0×(-)=0,
∴⊥,∴PA⊥BD.
(2)取PA的中點M,連接DM,則M（,-1,）.
∵=（,0, ）, =(1,0,-),
∴·=×1+0×(-2)+ ×(-)=0,
∴⊥,即DM⊥PA.
又·=×1+0×0+×（-）=0，
∴⊥，即DM⊥PB.
又∵PA∩PB=P，∴DM⊥平面PAB，
∵DM平面PAD.
∴平面PAD⊥平面PAB.