Question

如圖，已知F₁，F₂是橢圓

x2

36

+

y2

24

=1的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F₁PF₂=60°求：
（1）△PF₁F₂的面積；
（2）點P的坐標．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）先根據橢圓的方程求得c，進而求得|F₁F₂|，設出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面積公式求解；
（2）運用橢圓的第二定義，即有焦半徑公式，t₁=e（x₀+

a2

c

）=a+ex₀，t₂=a-ex₀，再由t₁t₂=32，即可解出P的坐標．

解答： 解：（1）∵a²=36，b²=24∴c²=a²-b²=12，
設|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
則t₁+t₂=12①，t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=48②，
由①²-②得t₁t₂=32，
∴S△PF1F2=

1

2

×32×sin60°=8

3

；
（2）設P（x₀，y₀），則t₁=e（x₀+

a2

c

）=a+ex₀=6+

3

3

x₀，
則t₂=a-ex₀=6-

3

3

x₀，
由（1）得t₁t₂=32，解得，x₀=±2

3

，y₀=±4．
則有P（2

3

，4）或（2

3

，-4），或（-2

3

，4），或（-2

3

，-4）．

點評：本題主要考查橢圓中焦點三角形的面積的求法，考查橢圓的兩個定義，關鍵是應用橢圓的定義和余弦定理以及焦半徑公式轉化．