Question

過雙曲線

x2

9

-

y2

b2

=1（b＞0）的左焦點F₁的直線l交雙曲線的左支于A，B兩點，若|AF₂|+|BF₂|（F₂為雙曲線的右焦點）的最小值為14，則b=

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據雙曲線的標準方程可得：a=3，再由雙曲線的定義可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=6，|BF₂|-|BF₁|=2a=6，得到|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=12，再根據A、B兩點的位置特征得到答案．

解答： 解：如圖，
根據雙曲線的標準方程

x2

9

-

y2

b2

=1（b＞0），得：a=3，
由雙曲線的定義可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=6…①，
|BF₂|-|BF₁|=2a=6…②，
①+②可得：|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=12，
∵過雙曲線的左焦點F₁的直線交雙曲線的左支于A，B兩點，
∴|AF₁|+|BF₁|=|AB|，當|AB|是雙曲線的通經時|AB|最小．
∴|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=|AF₂|+|BF₂|-|AB|=12．
|BF₂|+|AF₂|=|AB|+12≥

2b2

3

+12=14．
解得：b=

3

故答案為：

3

．

點評：本題考查兩條線段和的最小值的求法，解題時要合理運用雙曲線的簡單性質，是中檔題．