Question

【題目】（本小題滿分16分）已知為實數，函數，函數．

（1）當時，令，求函數的極值；

（2）當時，令，是否存在實數，使得對于函數定義域中的任意實數，均存在實數，有成立，若存在，求出實數的取值集合；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）的極小值為，無極大值．（2）

【解析】試題分析：（1）當時， ，定義域為，由得．列表分析得的極小值為，無極大值．（2）恒成立問題及存在問題，一般利用最值進行轉化： 在上恒成立．由于不易求，因此再進行轉化：當時， 可化為，令，問題轉化為： 對任意恒成立；同理當時， 可化為，令，問題轉化為： 對任意的恒成立；以下根據導函數零點情況進行討論即可.

試題解析：（1），

，令，得． 1分

列表：

x
		0	+
	↘	極小值	↗

所以的極小值為，無極大值． 4分

（2）當時，假設存在實數滿足條件，則在上恒成立． 5分

1）當時， 可化為，

令，問題轉化為： 對任意恒成立；（*）

則， ， ．

令，則．

①時，因為，

故，所以函數在時單調遞減， ，

即，從而函數在時單調遞增，故，所以（*）

成立，滿足題意； 7分

②當時， ，

因為，所以，記，則當時， ，

故，所以函數在時單調遞增， ，

即，從而函數在時單調遞減，所以，此時（*）不成立；

所以當， 恒成立時， ； 9分

2）當時， 可化為，

令，問題轉化為： 對任意的恒成立；（**）

則， ， ．

令，則．

①時， ，

故，所以函數在時單調遞增， ，

即，從而函數在時單調遞增，所以，此時（**）成立；11分

②當時，

ⅰ）若，必有，故函數在上單調遞減，所以，即，從而函數在時單調遞減，所以，此時（**）不成立； 13分

ⅱ）若，則，所以當時，

，

故函數在上單調遞減， ，即，所以函數在時單調遞減，所以，此時（**）不成立；

所以當， 恒成立時， ； 15分

綜上所述，當， 恒成立時， ，從而實數的取值集合為． 16分