Question

設(shè)橢圓C:(a〉b>0)的左焦點(diǎn)為，橢圓過(guò)點(diǎn)P（）
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知點(diǎn)D(l,0),直線l:與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，以DA和DB為鄰邊的四邊形是菱形，求k的取值范圍.

Answer 1

解 （1）由題意知，b2 = a2－3，由得 2a4－11a2 + 12 = 0，
所以（a²－4）（2a²－3）= 0，得 a² = 4或（舍去），
因此橢圓C的方程為．                     ……………… 4分
（2）由 得 ．
所以4k² + 1＞0，，
得 4k² + 1＞m²．               ①                      ……………… 6分
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
則，，
于是 ，，．
設(shè)菱形一條對(duì)角線的方程為，則有 x =－ky + 1．
將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入，得 ，所以．    ②
將②代入①，得，
所以9k²＞4k² + 1，解得 k∈． ……………… 12分
法2：
則由菱形對(duì)角線互相垂直，即直線l與垂直，由斜率的負(fù)倒數(shù)關(guān)系可整理得，即－3km = 4k² + 1，即， 代入①即得．
法3： 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
則，，于是，兩式相減可得 ，
即 x₀ + 4ky₀ = 0．     ①              
因?yàn)?QD⊥AB，所以 ．        ②
由①②可解得 ，，表明點(diǎn)M的軌跡為線段（）．
當(dāng)，k∈（，+∞）；當(dāng)，k∈（－∞,）．
綜上，k的取值范圍是k∈．

解析