Question

【題目】已知橢圓，四點、、、中恰有三點在橢圓上。

（1）求的方程：

（2）橢圓上是否存在不同的兩點、關于直線對稱？若存在，請求出直線的方程，若不存在，請說明理由；

（3）設直線不經過點且與相交于、兩點，若直線與直線的斜率的和為1，求證：過定點。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1) 結合橢圓幾何特征，可得、、在橢圓上，解方程即得橢圓的方程.(2) 設直線為，線段中點為，利用橢圓的中點弦性質求得中點，即得m=-.(3) 設，根據已知得到所以直線，即得直線經過的定點坐標.

（1）結合橢圓幾何特征，可得、、在橢圓上，所以b=1,,

解得方程為.

（2）設直線為，線段中點為，根據橢圓中點弦性質，，聯立解得中點，

（3）設，聯立得，

直線，所以k(x+2)-1-y=0,所以x+2=0且-1-y=0,所以x=-2,y=-1,

所以直線經過定點.