Question

【題目】如圖，是一塊足球訓練場地，其中球門AB寬7米，B點位置的門柱距離邊線EF的長為21米，現在有一球員在該訓練場地進行直線跑動中的射門訓練．球員從離底線AF距離x（x≥10）米，離邊線EF距離a（7≤a≤14）米的C處開始跑動，跑動線路為CD（CD∥EF），設射門角度∠ACB=θ．

（1）若a=14，
①當球員離底線的距離x=14時，求tanθ的值；
②問球員離底線的距離為多少時，射門角度θ最大？
（2）若tanθ= ，當a變化時，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ACD中，設 ，

在△BCD中，設 ，

當a=14時，AD=14，BD=7，

①若x=14，則 ；

②因為 在x≥10時單調遞增，

所以 ，

所以當x=10時射門角度θ最大

（2）解：AD=28﹣a，BD=21﹣a，

，則﹣x2+21x=a2﹣49a+28×21

因為7≤a≤14，所以98≤a2﹣49a+28×21≤294，

則98≤﹣x2+21x≤294，即 ，所以7≤x≤14

又x≥10，所以10≤x≤14

所以x的取值范圍是[10，14]

【解析】（1）①利用差角的正切函數求出tanθ的值；②利用函數的單調性，可得球員離底線的距離為多少時，射門角度θ最大；（2）利用 ，則﹣x2+21x=a2﹣49a+28×21，因為7≤a≤14，所以98≤a2﹣49a+28×21≤294即可求x的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解基本不等式在最值問題中的應用(用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”)．