Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，其中左焦點F（﹣2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段的中點M在圓x2+y2=1上，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，得

解得 ∴橢圓C的方程為 ．

（2）解：設點A、B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），線段AB的中點為M（x0，y0），

由 消y得，3x2+4mx+2m2﹣8=0，

△=96﹣8m2＞0，∴﹣2 ＜m＜2 ．

∴ =﹣ ，

．

∵點M（x0，y0）在圓x2+y2=1上，∴ ，∴ ．

【解析】（1）由題意，得 由此能夠得到橢圓C的方程．（2）設點A、B的坐標分別為（x1 ， y1），（x2 ， y2），線段AB的中點為M（x0 ， y0），由 消y得，3x2+4mx+2m2﹣8=0，再由根的判斷式結合題設條件能夠得到m的值．