Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， a1=﹣ ，Sn+ =an﹣2（n≥2，n∈N）
（1）求S2 ， S3 ， S4的值；
（2）猜想Sn的表達式；并用數學歸納法加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解： S1=a1=﹣ ，∵Sn+ =an﹣2（n≥2，n∈N），令n=2可得，

S2+ =a2﹣2=S2﹣a1﹣2，∴ = ﹣2，∴S2=﹣ ．

同理可求得 S3=﹣ ，S4=﹣ ．

（2）

解：猜想Sn=﹣ ，n∈N+，下邊用數學歸納法證明：

①當n=2時，S2=a1+a2=﹣ ，猜想成立．

②假設當n=k時猜想成立，即SK=﹣ ．

則當n=k+1時，∵Sn+ =an﹣2，∴ ，

∴ ，∴ = ﹣2= ，

∴SK+1=﹣ ，∴當n=k+1時，猜想仍然成立．

綜合①②可得，猜想對任意正整數都成立，即 Sn=﹣ ，n∈N+成立．

【解析】（1）S1=a1 ， 由S2+ =a2﹣2=S2﹣a1 求得S2 ， 同理求得 S3 ， S4 ． （2）猜想Sn=﹣ ，n∈N+ ， 用數學歸納法進行證明．
【考點精析】掌握歸納推理是解答本題的根本，需要知道根據一類事物的部分對象具有某種性質,退出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理,叫做歸納推理．