Question

【題目】P（x0 ， y0）（x0≠±a）是雙曲線E： 上一點，M，N分別是雙曲線E的左右頂點，直線PM，PN的斜率之積為 ．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足 ，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵P（x0，y0）（x0≠±a）是雙曲線E： 上一點，

∴ ，①

由題意又有 ，②

聯立①、②可得a2=5b2，c2=a2+b2，

則e= ，

（2）聯立 ，得4x2﹣10cx+35b2=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2= ，x1x2= ，

設 =（x3，y3）， ，

即

又C為雙曲線上一點，即x32﹣5y32=5b2，

有（λx1+x2）2﹣5（λy1+y2）2=5b2，

化簡得：λ2（x12﹣5y12）+（x22﹣5y22）+2λ（x1x2﹣5y1y2）=5b2，

又A（x1，y1），B（x2，y2）在雙曲線上，所以x12﹣5y12=5b2，x22﹣5y22=5b2，

而x1x2﹣5y1y2=x1x2﹣5（x1﹣c）（x2﹣c）

=﹣4x1x2+5c（x1+x2）﹣5c2=﹣4 +5c ﹣5c2= ﹣35b2= 6b2﹣35b2=10b2，

得λ2+4λ=0，解得λ=0或﹣4．

【解析】（1）由P點坐標滿足雙曲線方程，直線PM，PN的斜率之積為 聯立方程組可得a2=5b2，即可求出e的值。
（2）可求出過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線y=x-c，與雙曲線聯立方程組求出x1+x2，x1x2。由 可求出值。