Question

函數y=a^x+3-2的圖象恒過定點A，且點A在直線mx+ny+1=0上（m＞0，n＞0），則

1

m

+

3

n

的最小值為（　　）

A．12

B．10

C．8

D．14

Answer 1

分析：根據y=a^x過定點（0，1）求出點A的坐標，再把點A代入直線方程得到3m+n=1，再把“1”整體代入所求的式子，利用基本不等式求出最小值．

解答：解：∵函數y=a^x+3-2的圖象恒過定點A，∴A（-3，-1），
∵點A在直線mx+ny+1=0上，∴3m+n=1，
∵m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

3

n

=（

1

m

+

3

n

）（3m+n）=6+

n

m

+

9m

n

≥6+6=12，當且僅當

n

m

=

9m

n

時取等號，
∴所求的最小值是12，
故選A．

點評：本題考查了基本不等式的應用，利用指數函數的圖象過定點求出點的坐標，再由“1”的整體代換湊出積為定值，利用基本不等式進行求解，注意“一正、二定、三相等”的驗證．