Question

設F₁、F₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，P是C上的一個動點，且|PF₁|+|PF₂|=4，C的離心率為

1

2

．
（Ⅰ）求C方程；
（Ⅱ）是否存在過點F₂且斜率存在的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得|F₁C|=|F₁D|．若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得橢圓的長軸長，結合離心率求出c，則b可求，橢圓的方程可求；
（Ⅱ）假設存在，設出直線方程，和橢圓方程聯立利用跟與系數求出兩個交點CD的中點，再由|F₁C|=|F₁D|可知橢圓左焦點在CD的中垂線上，代入坐標后得到矛盾式子，所以假設不成立．

解答：解：（Ⅰ）因為|PF₁|+|PF₂|=4，所以a=2，
因為離心率為

1

2

，所以c=1，所以b=

3

，
所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線l，易知點F₂在橢圓的內部，
直線l與橢圓一定有兩個交點，設直線l斜率為k，點C（x₁，y₁），點D（x₂，y₂）
直線l的方程為y=k（x-1），由方程組

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

．
得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0．
則x1+x2=

8k2

4k2+3

，x0=

x1+x2

2

=

4k2

4k2+3

，
∴y0=k(x0-1)=k(

4k2

4k2+3

-1)=

-3k

4k2+3

．
又|F₁D|=|F₁C|，所以F₁在CD的垂直平分線上，又CD的垂直平分線上方程為y+

3k

4k2+3

=-

1

k

(x-

4k2

4k2+3

)，
所以

3k

4k2+3

=-

1

k

(-1-

4k2

4k2+3

)．
所以5k²+3=0，不成立，所以不存在直線l，使得|F₁D|=|F₁C|．
綜上所述，不存在直線l，使得|F₁D|=|F₁C|．

點評：本題考查了橢圓的定義及方程的求法，考查了橢圓的簡單幾何性質，是直線與圓錐曲線的綜合題，解答的關鍵是把|F₁C|=|F₁D|轉化為點F₁過CD的中垂線，考查了學生的計算能力，是有一定難度題目．