Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）滿足f（0）=0，對于任意x∈R都有f（x）≥x，且f（﹣ +x）=f（﹣ ﹣x），令g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|（λ＞0）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）函數g（x）在區間（0，1）上有兩個零點，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（0）=0，∴c=0．∵對于任意x∈R都有f（﹣ +x）=f（﹣ ﹣x），∴函數f（x）的對稱軸為x=﹣ ，即﹣ =﹣ ，得a=b．

又f（x）≥x，即ax2+（b﹣1）x≥0對于任意x∈R都成立，∴a＞0，且△=（b﹣1）2≤0．∵（b﹣1）2≥0，∴b=1，a=1．∴f（x）=x2+x．

（2）解：解：g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|=

①當x≥ 時，函數g（x）=x2+（1﹣λ）x+1的對稱軸為x= ，若 ≤ ，即0＜λ≤2，函數g（x）在（ ，+∞）上單調遞增；

則函數g（x）在區間（0，1）上單調遞增，又g（0）=﹣1＜0，g（1）=2﹣|λ﹣1|＞0，故函數g（x）在區間（0，1）上只有一個零點．

②若 ＞ ，即λ＞2，函數g（x）在（ ，+∞）上單調遞增，在（ ， ）上單調遞減．

此時 ＜ ＜1，而g（0）=﹣1＜0，g（ ）= + ＞0，g（1）=2﹣|λ﹣1|，

（ⅰ）若2＜λ≤3，由于 ＜ ≤1，且g（ ）=（ ）2+（1﹣λ） +1=﹣ +1≥0，此時，函數g（x）在區間（0，1）上只有一個零點；

（ⅱ）若λ＞3，由于 ＞1且g（1）=2﹣|λ﹣1|＜0，此時，函數g（x）在區間（0，1）上有兩個不同的零點．

綜上所述，當λ＞3時，函數g（x）在區間（0，1）上有兩個不同的零點．

【解析】1、由題意可得f（0）=0，∴c=0．∵對于任意x∈R都有f（﹣ +x）=f（﹣ ﹣x），由對稱軸x=﹣ ，可得f（x）的對稱軸即得a=b，由題意可得f（x）≥x，即ax2+（b﹣1）x≥0對于任意x∈R都成立，∴a＞0，且△=（b﹣1）2≤0．
2、由（1）可得g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|=.分情況討論
①當x≥ 時，函數g（x）=x2+（1﹣λ）x+1的對稱軸為x= ,即
②當x<，函數g（x）=x2+（1﹣λ）x+1的對稱軸為X=<同①的討論思路。
3、結合（2）中的單調區間即零點存在定理進行判斷函數g（x）的零點。
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．