Question

【題目】已知直線y=ax+1和拋物線y2=4x相交于不同的A，B兩點．

（Ⅰ）若a=-2，求弦長|AB|；

（Ⅱ）若以AB為直徑的圓經過原點O，求實數a的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）將直線y=x+1和拋物線y2=4x聯立，消去y可得x的二次方程，運用韋達定理和弦長公式，計算可得所求值；

（Ⅱ）將直線y=ax+1和拋物線y2=4x聯立，消去y可得x的二次方程，運用判別式大于0和韋達定理，由題意可得OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0，結合A，B均在直線y=ax+1上，可得a的方程，解方程即可得到所求值．

解：（Ⅰ）將直線y=x+1和拋物線y2=4x聯立，可得4x2x+1=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=2，x1x2=，

即有|AB|=|x1-x2|===；

（Ⅱ）將直線y=ax+1和拋物線y2=4x聯立，可得a2x2+（2a-4）x+1=0，a≠0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），可得△=（2a-4）2-4a2=16-16a＞0，即a＜1，

x1+x2=，x1x2=，y1y2=（ax1+1）（ax2+1）=a2x1x2+a（x1+x2）+1，

以AB為直徑的圓經過原點O，可得OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0，

即有（1+a2）x1x2+a（x1+x2）+1=（1+a2）+a+1=0，

解得a=，滿足△＞0，

故a=．