【題目】如圖，四邊形
為正方形，
，且
，
平面
.
（1）證明：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析（2）
.
【解析】
（1）由勾股定理可得出
，由
平面
可得出
，利用直線與平面垂直的判定定理可證明出
平面
，從而得出
，再由正方形的性質得出
，從而可得出
平面
，最后利用平面與平面垂直的判定定理可得出平面
平面；
（2）
為坐標原點，
、
、
所在直線分別為
、
、
軸建立空間直角坐標系，令
，利用空間向量法能求出二面角
的余弦值.
（1）
，
，
.
又
平面，
平面，
.
，
平面，
平面，
.
四邊形為正方形，
.
又
，
平面.
平面
，
平面平面；
（2）
平面，
，
平面.
以為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系
，令.
則
、
、
、
，
，
，
，
設平面
的法向量為
，則
，
令
，則
，
.
設平面
的法向量為
，則
，
令
，則
，
，∴
，
.
二面角為銳角，二面角的余弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
是圓
上的任意一點，
是過點且與
軸垂直的直線，
是直線與軸的交點，點
在直線上，且滿足
.當點在圓
上運動時，記點的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）已知點
，過
的直線
交曲線于
兩點，交直線
于點
.判定直線
的斜率是否依次構成等差數列？并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公園有個池塘，其形狀為直角△ABC，
，AB的長為2百米，BC的長為1百米.
（1）若準備養一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點D、E、F，如圖（1），使得
，
，在△DEF內喂食，求當△DEF的面積取最大值時EF的長；
（2）若準備建造一個荷塘，分別在AB、BC、CA上取點D、E、F，如圖（2），建造△DEF連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，記
，求△DEF邊長的最小值及此時
的值.（精確到1米和0.1度）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知以橢圓
：
的焦點和短軸端點為頂點的四邊形恰好是面積為4的正方形.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線
：
與橢圓交于異于橢圓頂點的
，
兩點，
為坐標原點，直線
與橢圓的另一個交點為
點，直線和直線的斜率之積為1，直線
與
軸交于點
.若直線，
的斜率分別為
，
，試判斷
是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知袋中裝有紅球，黑球共7個，若從中任取兩個小球（每個球被取到的可能性相同），其中恰有一個紅球的概率為
.
（1）求袋中紅球的個數；
（2）若袋中紅球比黑球少，從袋中任取三個球，求三個球中恰有一個紅球的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“共享單車”的出現，為我們提供了一種新型的交通方式.某機構為了調查人們對此種交通方式的滿意度，從交通擁堵不嚴重的
城市和交通擁堵嚴重的
城市分別隨機調查了20個用戶，得到了一個用戶滿意度評分的樣本，并繪制出莖葉圖如圖：
（1）根據莖葉圖，比較兩城市滿意度評分的平均值的大小（不要求計算具體值，給出結論即可）；
（2）若得分不低于85分，則認為該用戶對此種交通方式“認可”，否則認為該用戶對此種交通方式“不認可”，請根據此樣本完成此列聯表，并據此樣本分析是否有
的把握認為城市擁堵與認可共享單車有關；
|
| 合計 | |
認可 | |||
不認可 | |||
合計 |
（3）若此樣本中的城市和城市各抽取1人，則在此2人中恰有一人認可的條件下，此人來自城市的概率是多少？
（參考公式：
）
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某城市交通部門為了對該城市共享單車加強監管，隨機選取了100人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調查，并將問卷中的這100人根據其滿意度評分值（百分制）按照
分成5組，制成如圖所示頻率分直方圖.
（1）求圖中x的值；
（2）求這組數據的平均數和中位數；
（3）已知滿意度評分值在
內的男生數與女生數3:2，若在滿意度評分值為的人中隨機抽取2人進行座談，求2人均為男生的概率.
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