Question

是否存在數列{b_n}使得（2b₁-n）C

1 n

+（2b₂-n）C

2 n

+（2b₃-n）C

3 n

+…+（2b_n-n）C

n n

=n對一切n∈N^*成立？若存在，求數列{b_n}的通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：二項式定理

分析：分別令n=1，2，3，求出數列{b_n}的通項公式，再把它進行檢驗，從而得出結論．

解答： 解：∵（2b₁-n）C

1 n

+（2b₂-n）C

2 n

+（2b₃-n）C

3 n

+…+（2b_n-n）C

n n

=n對一切n∈N^*成立，
故當n=1時，有2 b₁ -1=1，∴b₁ =1；
當n=2時，有 2 b₁ -2+2b₂ -2=2，∴b₂ =2；
當n=3時，有 2 b₁ -3+2b₂ -3+2b₃ -3=3，求得b₃=3．
故應有 b_n=n，即 （2-n）C

1 n

+（4-n）C

2 n

+（6-n）C

3 n

+…+（2n-n）C

n n

=n對一切n∈N^*成立，
即

C

0 n

+C

1 n

+2C

2 n

+3C

3 n

+…+nC

n n

=1+n•2^n-1 ①，對一切n∈N^*成立，
即 nC

n n

+（n-1）

C

n-1 n

+（n-2）

C

n-2 n

+…+

C

0 n

=1+n•2^n-1 ②對一切n∈N^*成立．
再把①②相加可得（n+1）

C

0 n

+（n+1）

C

2 n

+…+（n+1）

C

n n

=2+2n•2^n-1，
即

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

=2ⁿ，即（1+1）ⁿ=2ⁿ 對一切n∈N^*成立．
故存在數列{b_n}，且b_n=n，滿足條件．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，用倒序向加法進行數列求和，二項式系數的性質，屬于基礎題．