Question

【題目】已知圓：，點，.

（1）若線段的中垂線與圓相切，求實數的值；

（2）過直線上的點引圓的兩條切線，切點為，若，則稱點為“好點”. 若直線上有且只有兩個“好點”，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出的中點坐標，直線的斜率，可得的中垂線方程，利用直線與圓相切，求解即可．
（2）連接，先求出圓的方程，直線上有且只有兩個“好點”，推出圓心到直線的距離，求解即可．

解：（1）由，得：

的中點坐標為，直線的斜率為，

所以的中垂線方程為，即，

又因為的中垂線與圓相切，

所以圓心到中垂線的距離，

即；

（2）連接，

在中，，，

所以，

所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，記為圓，

則圓的方程為，

又因為直線的方程為，且直線上有且只有兩個“好點”，

則直線與圓相交，

所以圓心到直線的距離，

故實數的取值范圍是.