Question

給出下列命題：

①如果函數(shù)f(x)對(duì)仟意的x∈R，滿足f(2+x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；

②如果函數(shù)f(x)對(duì)任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有(x₁-x₂)[f(x₁)-f(x₂)]＞0，那么函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)；

③如果函數(shù)f(x)對(duì)任意的x∈R都有f(a+x)=f(a-x)(a是常數(shù))，那么函數(shù)f(x)必為偶函數(shù)．

其中正確的命題有(    )

A．3個(gè)             B．2個(gè)              C．1個(gè)               D．0個(gè)

Answer 1

答案：B

【解析】由f(a+x)=f(a-x)可得函數(shù)f(a+x)為偶函數(shù)，即命題①不正確；由f(2+x)=-f(x)可得f(4+x)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，于是得4是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，印命題②正確；

由x₁≠x₂，都有(x₁-x₂)[f(x₁)-f(x₂)]＞0可得x₁-x₂與f(x₁)-f(x₂)同正同負(fù)，于是得函數(shù)f(x)為R上的增函數(shù)，即命題③正確；

取函數(shù)f(x)=2x+b，可得f(x-1)+2=2(x-1)+b+2=2x+b，于是得函數(shù)y=f(x)和函數(shù)y=f(x-1)+2的圖象重合，即命題④不正確，由此可得正確的命題共有2個(gè)．