Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為 ，短軸一個端點到右焦點的距離為 ． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為 ，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為c，依題意 ∴b=1，∴所求橢圓方程為 ． （Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
①當AB⊥x軸時， ．
②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m．
由已知 ，得 ．
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，
∴ ， ．
∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2
=
=
=
=
= ．
當且僅當 ，即 時等號成立．當k=0時， ，
綜上所述|AB|max=2．∴當|AB|最大時，△AOB面積取最大值
【解析】（Ⅰ）設橢圓的半焦距為c，依題意求出a，b的值，從而得到所求橢圓的方程．（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．（1）當AB⊥x軸時， ．（2）當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m．由已知 ，得 ．把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根與系數的關系進行求解．