Question

【題目】設函數f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3 （Ⅰ）當x∈（0，π）時，求f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）若f（x）在[0，θ]上的值域為[0，2 +1]，求cos2θ的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3

=4sinxcosx﹣4sin2x+3

=2sin2x﹣4× +3

=2sin2x+2cos2x+1

=2 sin（2x+ ）+1，

令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，

解得kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

又x∈（0，π），

所以f（x）的單調遞減區間是[ ， ]；

（Ⅱ）由f（x）=2 sin（2x+ ）+1在[0，θ]上的值域為[0，2 +1]，

令x=0，得f（0）=2 sin +1=3；

令f（x）=2 +1，得sin（2x+ ）=1，

解得x= ，∴θ＞ ；

令f（x）=0，得sin（2x+ ）=﹣ ，

∴2x+ ＜ ，

解得x＜ ，即θ＜ ；

∴θ∈（ ， ），

∴2θ+ ∈（ ， ）；

由2 sin（2θ+ ）+1=0，

得sin（2θ+ ）=﹣ ，

所以cos（2θ+ ）=﹣ =﹣ ，

所以cos2θ=cos[（2θ+ ）﹣ ]

=cos（2θ+ ）cos +sin（2θ+ ）sin

=﹣ × +（﹣ ）×

=﹣ ．

【解析】（Ⅰ）化簡函數f（x）為正弦型函數，根據正弦函數的圖象與性質即可求出f（x）的單調減區間；（Ⅱ）根據題意，求出sin（2θ+ ）的值，再根據同角的三角函數關系和三角恒等變換求出cos2θ的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正弦函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數．