Question

【題目】已知f（x）=ax2﹣2（a+1）x+3（a∈R）．
（1）若函數f（x）在 單調遞減，求實數a的取值范圍；
（2）令h（x）= ，若存在 ，使得|h（x1）﹣h（x2）|≥ 成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：①當a=0時，f（x）=﹣2x+3，顯然滿足；

② ，③ ，

綜上：

（2）解：存在 ，使得|h（x1）﹣h（x2）|≥ 成立即：

在 上，h（x）max﹣h（x）min≥ 成立，

因為 ，令 ，

則 ， ．

（i）當a≤0時，g（t）在 單調遞減，所以 ，

等價于 ，所以a≤0．

（ii）當0＜a＜1時， ，g（t）在 上單調遞減，

在 上單調遞增．

①當 時，即 ，g（t）在 單調遞增．

由 得到 ，所以 ．

②當 時， 時，g（t）在 單調遞減，

由 得到 ，所以 ．

③當 ，即 時， ，

最大值則在g（2）與 中取較大者，作差比較 ，得到分類討論標準：

a．當 時， ，此時 ，

由 ，

得到 或 ，

所以 ．

b．當 時， ，此時g（t）max=g（2），

由 ，得到 ，

所以此時a∈，

在此類討論中， ．

c．當a≥1時，g（t）在 單調遞增，由 ，

得到 ，所以a≥1，

綜合以上三大類情況，

【解析】（1）對a討論，a=0，a＞0，a＜0，結合二次函數的圖象和單調性的性質，得到不等式組，解不等式即可得到a的范圍；（2）由題意可得在 上，h（x）max﹣h（x）min≥ 成立，因為 ，令 ，則 ， ．對a討論，（i）當a≤0時，（ii）當0＜a＜1時，求出單調性和最值，即可得到a的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最值及其幾何意義的相關知識，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．