Question

已知函數f（x）=

ex-1(x＞0) 1-| 1 2 x+1|(x≤0)

，若f（x）≥ax恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A、（∞，

  1

  2

  ]
• B、[-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ]
• C、[

  1

  2

  ，1]
• D、[1，+∞）

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：先把函數化為分段函數，畫出函數的圖象，令y=f（x）、y=ax，f（x）≥ax恒成立等價于函數y=f（x）的圖象位于函數y=ax的上方．

解答： 解：當-2≤x≤0時，f（x）=1-（

1

2

x+1）=-

1

2

x；當x＜-2時，f（x）=1+（

1

2

x+1）=

1

2

x+2；
函數化為f（x）=

1 2 x+2，x＜-2 - 1 2 x，-2≤x≤0 ex-1，x＞0

，
其圖象如下：

其中，直線n₁與直線AB平行，故斜率為kn1=kAB=

1-0

-2+4

=

1

2

，
直線n₂是直線y=ax與曲線y=e^x-1相切于原點的直線，故斜率kn2=y′|x=0=ex|x=0=e0=1，
要使f（x）≥ax恒成立，只有使直線y=ax在圖中陰影區域，也即位于直線n₁與n₂ 之間，
∴直線y=ax的斜率a應滿足：kn1≤a≤kn2，
∴

1

2

≤a≤1
故選：C．

點評：本題考查分段函數的圖象和運用，考查數形結合的思想方法，以及不等式恒成立的思想，屬于中檔題．