Question

【題目】設函數f(x)＝ x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x.
（1）求函數f(x)的單調區間；
（2）當m≥0時，討論函數f(x)與g(x)圖象的交點個數．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝ ，
當m≤0時，f′(x)≥0，所以函數f(x)的單調增區間是(0，＋∞)，無單調減區間；
當m＞0時， f′(x)＝ ；
當0＜x＜ 時，f′(x)＜0，函數f(x)單調遞減；當x＞ 時，f′(x)＞0，函數f(x)單調遞增．
綜上，當m≤0時，函數f(x)的單調增區間是(0，＋∞)，無單調減區間；當m＞0時，函數f(x)的單調增區間是( ，＋∞)，單調減區間是(0， )．
（2）解：令F(x)＝f(x)－g(x)＝－ x2＋(m＋1)x－mln x，x＞0，問題等價于求函數F(x)的零點個數，
當m＝0時，F(x)＝－ x2＋x，x＞0，有唯一零點；
當m＞0時，F′(x)＝－ ，
當m＝1時，F′(x)≤0，函數F(x)為減函數，注意到F(1)＝ ＞0，F(4)＝－ln 4＜0，所以F(x)有唯一零點；
當m＞1時，由F′(x)＜0得0＜x＜1或x＞m，由F′(x)＞0得1＜x＜m，所以函數F(x)在(0，1)和(m，＋∞)上單調遞減，在(1，m)上單調遞增，注意到F(1)＝m＋ ＞0，
F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)＜0，
所以F(x)有唯一零點；
當0＜m＜1時，0＜x＜m或x＞1時，由F′(x)＜0得，0＜x＜m或x＞1，
由F′(x)＞0得m＜x＜1，
所以函數F(x)在(0，m)和(1，＋∞)單調遞減，在(m，1)單調遞增，又ln m＜0，
所以F(m)＝ (m＋1－2ln m)＞0，
而F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)＜0，所以F(x)有唯一零點．
綜上，函數F(x)有唯一零點，即當m≥0時函數f(x)與g(x)圖象總有一個交點．
【解析】（1）求出函數的導數，通過討論m的范圍，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），問題等價于求F（x）的零點個數，結合函數的單調性以及m的范圍，求出即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．