Question

（本小題滿分14分）
(1)　證明：當時，不等式成立；
(2)　要使上述不等式成立，能否將條件“”適當放寬？若能，請放寬條件并簡述理由；若不能，也請說明理由；
(3)請你根據⑴、⑵的證明，試寫出一個類似的更為一般的結論，且給予證明．

Answer 1

（1）證明：見解析；
（2）∵　對任何且，式子與同號，恒成立，
∴　上述不等式的條件可放寬為且．
根據（1）（2）的證明，可推廣為：若且，，，
則有　．
證明：見解析。

(1)證明易采用作差比較，然后對差值分解因式，再判斷每個因式的符號，從而確定差值符號.
（2）根據（1）先觀察成立時應具體什么條件，然后再采用作差比較法進行證明.
（1）證明：左式－右式＝,
∵　　　，　
∴，
∴　　不等式成立．
（2）∵　對任何且，式子與同號，恒成立，
∴　上述不等式的條件可放寬為且．
根據（1）（2）的證明，可推廣為：若且，，，
則有　．
證明：左式-右式
．
若，則由不等式成立；
若，則由不等式成立.
∴　綜上得：　　若　且，，，
則有　成立．
注：（3）中結論為：若且，，
則有　也對．