Question

已知函數(shù)f（x）=bx²+cx滿(mǎn)足f（1）=0，且b²+c²≠0．若方程f（x）•[（f（x）²+bf（x）+c]=0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則正實(shí)數(shù)c的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：方程f（x）•[（f（x）²+bf（x）+c]=0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)根只能是0和1，故（f（x）²+bf（x）+c=0無(wú)實(shí)根，進(jìn)而可得正實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=bx²+cx滿(mǎn)足f（1）=0，c＞0，
故b=-c＜0，
則當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）=bx²+cx有最大值

1

4

c2
若b²-4c＜0，即c²-4c＜0，即0＜c＜4時(shí)，（f（x）²+bf（x）+c=0無(wú)解，
此時(shí)方程f（x）•[（f（x）²+bf（x）+c]=0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根0，1，滿(mǎn)足條件；
若b²-4c≥0，即c²-4c≥0，即c≥4時(shí)，
由方程f（x）•[（f（x）²+bf（x）+c]=0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故

-b± b2-4c

2

=

c± c2-4c

2

∉（-∞，

1

4

c2]，
即

c- c2-4c

2

＞

1

4

c2，此時(shí)不等式無(wú)解，
綜上所述，正實(shí)數(shù)c的取值范圍為0＜c＜4，
故答案為：0＜c＜4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中正確理解（f（x）²+bf（x）+c=0無(wú)實(shí)根，是解答的關(guān)鍵．