Question

已知橢圓方程為

x2

6

+

y2

b

=1（0＜b＜4），拋物線方程為x²=4by．過拋物線的焦點作y軸的垂線，與拋物線在第一象限的交點為A，拋物線在點A的切線經過橢圓的右焦點F．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設P為橢圓上的動點，由P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，且直線PQ上一點M滿足|PQ|=λ|MQ|，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

考點：軌跡方程,橢圓的標準方程,橢圓的簡單性質,拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）拋物線的焦點為（0，b），過拋物線的焦點垂線于y軸的直線為y=b．聯立拋物線方程，求出點A的坐標為（2b，b），推出y=

1

4b

x2，求出函數的導數，然后求出切線的斜率，求出切線方程，通過右焦點F的坐標解得b，即可求解橢圓方程，拋物線方程．
（2）設點P的坐標為（x₀，y₀），點M的坐標為（x，y），推出點Q的坐標為（x，0），且x₀=x，y₀=±λy．將其代入橢圓方程，然后通過λ的值說明軌跡方程的形狀即可．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）拋物線的焦點為（0，b），過拋物線的焦點垂線于y軸的直線為y=b．
由

x2=4by y=b

得點A的坐標為（2b，b）．…（2分）
由x²=4by得y=

1

4b

x2，
∴y/=

1

2b

x，故y′|_x=2b=1．…（3分）
∴拋物線在點A的切線方程為y-b=x-2b，即x-y-b=0．…（4分）
又由橢圓方程及0＜b＜4知，右焦點F的坐標為(

6-b

，0)．…（5分）
∴

6-b

-0-b=0，解得b=2．…（7分）
∴橢圓方程為

x2

6

+

y2

2

=1，拋物線方程為x²=8y．　      …（8分）
（2）設點P的坐標為（x₀，y₀），點M的坐標為（x，y），則點Q的坐標為（x，0），且x₀=x，y₀=±λy．由已知知λ＞0．…（10分）
將其代入橢圓方程得

x2

6

+

y2

2 λ2

=1．…（11分）
當λ=

3

3

，即6=

2

λ2

時，點M的軌跡方程為x²+y²=6，其軌跡是以原點為圓心，半徑為

6

的圓；　                               …（12分）
當0＜λ＜

3

3

，即6＜

2

λ2

時，點M的軌跡方程為

x2

6

+

y2

2 λ2

=1，其軌跡是焦點在y軸上的橢圓；　                                     …（13分）
當λ＞

3

3

，即6＞

2

λ2

時，點M的軌跡方程為

x2

6

+

y2

2 λ2

=1，其軌跡是焦點在x軸上的橢圓．…（14分）

點評：本題考查軌跡方程的求法，橢圓方程與拋物線方程的求法，軌跡方程與軌跡的關系，考查轉化思想以及計算能力．