Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點為別為、，且過點和.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）如圖，點為橢圓上一動點（非長軸端點），的延長線與橢圓交于點，的延長線與橢圓交于點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）將點和代入橢圓方程解得，即可得橢圓方程；

（2）當的斜率不存在時，易得；當的斜率存在時，設(shè)的方程為，聯(lián)立，得：，設(shè)，利用韋達定理得，則，點到直線的距離是點到直線的距離的2倍，則，得；進行比較，得出面積的最大值.

（1）根據(jù)題意得，將點和代入橢圓方程得：，

解得：，所以橢圓的方程為.

（2）由（1）得橢圓的，，

①當的斜率不存在時，易知，

；

②當的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程組，消去得：

設(shè)，，

，

點到直線的距離，因為是線段的中點，所以點到直線的距離為，

所以

綜上，面積的最大值為.