Question

【題目】直線y=ax+1與雙曲線3x2﹣y2=1相交于A、B兩點．
（1）求AB的長；
（2）當a為何值時，以AB為直徑的圓經過坐標原點？

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ∴

∵相交于A、B兩點，設A（x1，y1），B（x2，y2）

∴△=（2a）2﹣4（a2﹣3）2＞0，

∴ 且

∴ ，（*）

∴ （ 且 ）

（2）解：由（1）中（*）式得： ，

∵以AB為直徑的圓經過坐標原點

∴ =0，∴x1x2+y1y2=0

∴x1x2+（ax1+1）（ax2+1）=0 即（1+a2）x1x2+a（x1+x2）+1=0

∴

∴a=±1．

【解析】（1）將直線與雙曲線相交于兩點轉化為一元二次方程有兩個根，從而求得a的取值范圍，并利用求根公式將兩點的橫坐標用a表示出來，進而求得線段AB的長；（2）將幾何問題轉化為向量問題，向量問題再轉化為代數式問題，進而根據根與系數的關系求得實數a的值.