Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，拋物線與橢圓有相同的焦點，且橢圓過點．

（I）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若橢圓的右頂點為，直線交橢圓于兩點（與點不重合），且滿足，若點為中點，求直線斜率的最大值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

【解析】試題分析：

（Ⅰ）寫出拋物線焦點坐標，得橢圓中，把點的坐標代入橢圓方程得與聯立可解得，得橢圓方程；

（Ⅱ）設，設直線方程為，與橢圓方程聯立消元后應用教研室可得，，用代可得F點坐標，計算中點P坐標，計算AP的斜率為，分子分母同時除以，并換元，得，由基本不等式可得最大值.

試題解析：

（Ⅰ）因為拋物線的焦點為，拋物線與橢圓C有相同的焦點

所以，又橢圓過點，所以 解得.

則橢圓的標準方程為；

（Ⅱ）設，

直線AE的方程為，代入橢圓方程，可得

由，可得，，

由于AE⊥AF，只要將上式的換為，可得，，

由P為EF的中點，得

則直線AP的斜率為，

當時，；當時，，

再令，可得，當時，；

當時，，

當且僅當時，取得最大值；

綜上可得直線AP的斜率的最大值為．