Question

【題目】已知，

（1）求在處的切線方程以及的單調性；

（2）對，有恒成立，求的最大整數解；

（3）令，若有兩個零點分別為，且為的唯一的極值點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）切線方程為；單調遞減區間為，單調遞增區間為（2）的最大整數解為（3）證明見解析

【解析】

（1）求出函數的導數，求出，即可得到切線方程，解得到單調遞增區間，解得到單調遞減區間，需注意在定義域范圍內；

（2）等價于，求導分析的單調性，即可求出的最大整數解；

（3）由，求出導函數分析其極值點與單調性，構造函數即可證明；

解：（1）

所以定義域為

；

；

所以切線方程為；

，

令解得

令解得

所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（2）等價于；

，

記，，所以為上的遞增函數，

且，，所以，使得

即，

所以在上遞減，在上遞增，

且；

所以的最大整數解為.

（3），得，

當，，，；

所以在上單調遞減，上單調遞增，

而要使有兩個零點，要滿足，

即；

因為，，令，

由，，

即：，

而要證，

只需證，

即證：

即：由，只需證：，

令，則

令，則

故在上遞增，；

故在上遞增，；

.