Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，過點且斜率為 的直線和以橢圓的右頂點為圓心，短半軸為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）橢圓的左、右頂點分為A，B，過右焦點的直線l交橢圓于P，Q兩點，求四邊形APBQ面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1），（2）6

【解析】

（1）依題意可得，即可求出過點且斜率為 的直線的方程，設以右頂點為圓心，b為半徑的圓的方程為，根據直線與圓相切，即圓心到直線的距離等于半徑得到方程組，解得.

（2）設直線l的方程為，，聯立直線與橢圓方程，消去，列出韋達定理，四邊形APBQ的面積，又，得到，設，則即可求出函數的最大值.

解：（1）設橢圓的焦距為，故由題可知，則橢圓的左焦點，

故直線方程為，

以右頂點為圓心，b為半徑的圓的方程為，

則，，

解得或（舍去），故，

橢圓的方程為.

（2）設直線l的方程為，，

聯立，整理得，顯然，

則，

，

故四邊形APBQ的面積.

設，則，

可設函數，則，

函數在上單調遞增，

則，則，

當且僅當時等號成立，四邊形APBQ的面積取得最大值為6.