Question

【題目】對于函數，若存在，使成立，則稱為的

不動點.已知函數.

（1）當時，求函數的不動點；

（2）若對任意實數，函數恒有兩個相異的不動點，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若f（x）的兩個不動點為，且，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）－1（2）0＜a＜1（3）

【解析】

試題分析：（1）寫出函數f（x）=x2+3x+1，利用不動點定義，列出方程求解即可；（2）f（x）恒有兩個不動點，得到ax2+（b+1）x+（b-1）=x，通過b2-4a（b-1）＞0恒成立，利用判別式得到不等式求解即可；（3）利用定義推出，通過換元令t=a2∈（0，1），任何求解b的范圍

試題解析：（1），因為x0為不動點，因此所以x0=－1，

所以－1為f（x）的不動點. ……………… 4分

（2）因為f（x）恒有兩個不動點，f（x）=ax2+（b+1）x+（b－1）=x，

ax2+bx+（b－1）=0（※），

由題設b2－4a（b－1）＞0恒成立，

即對于任意b∈R，b2－4ab+4a＞0恒成立，

所以（4a）2－4（4a）＜0a2－a＜0，所以0＜a＜1. ………………8分

(3)因為，所以，

令，則. ……………… 12分